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其他数都跟 n 互质

来源:未知作者:admin 更新时间:2018-04-18 11:26
任何一种互联网大数据算法背后都无数学道理在支持,无论是简单的递归迭代或者是更复杂的加密算法,都离不开数学道理,为了更好地便利大师理解,我们以加密算法为例,更好地阐述一下数学对算法的支撑。 AES 是 Advanced Encryption Standard 的缩写,是最常见

  任何一种互联网大数据算法背后都无数学道理在支持,无论是简单的递归迭代或者是更复杂的加密算法,都离不开数学道理,为了更好地便利大师理解,我们以加密算法为例,更好地阐述一下数学对算法的支撑。

  AES 是 Advanced Encryption Standard 的缩写,是最常见的对称加密算法。AES 在暗码学中又称 Rijndael 加密法,是美国联邦当局采用的一种区块加密尺度。这个尺度曾经被多方阐发且广为全世界所利用。

  AES 的加密公式为 C=E(K,P),此中K 为密钥,P 为明文,C 为密文。

  AES 加密明文的过程是:起首对明文进行分组,每组的长度都是 128 位,然后一组一组地加密,直到所有明文都已加密。密钥的长度能够是 128、192 或 256 位。

  在加密函数 E 中,会施行一个轮函数,除最初一次施行分歧外,前面几轮的施行是不异的。以 AES-128 为例,保举加密轮数为 10 轮,即前 9 轮施行的操作不异,第 10 轮施行的操作与前面分歧。分歧的密钥长度保举的加密轮数是纷歧样的,具体见下面的表格。

  加密时明文按照 128 位为单元进行分组,每组包含 16 个字节,按照从上到下、从左到右的挨次陈列成一个 4 × 4 的矩阵,称为明文矩阵。AES 的加密过程在一个大小同样为 4 × 4 的矩阵中进行,称为形态矩阵,形态矩阵的初始值为明文矩阵的值。每一轮加密竣事后,形态矩阵的值变化一次。轮函数施行竣事后,形态矩阵的值即为密文的值,从形态矩阵获得密文矩阵,顺次提取密文矩阵的值获得 128 位的密文。

  以 128 位密钥为例,密钥长度为 16 个字节,也用 4 × 4 的矩阵暗示,挨次也是从上到下、从左到右。AES 通过密钥编排函数把密钥矩阵扩展成一个包含 44 个字的密钥序列,此中的前 4 个字为原始密钥用于初始加密,后面的 40 个字用于 10 轮加密,每轮利用此中的 4 个字。密钥递归发生法则如下:

  加密的第 1 轮到第 9 轮的轮函数一样,包罗 4 个操作:字节代换、行位移、列夹杂和轮密钥加。最初一轮迭代不施行列夹杂。别的,在第一轮迭代之前,先将明文和原始密钥进行一次异或加密操作。

  解密过程仍为 10 轮,每一轮的操作是加密操作的逆操作。因为 AES 的 4 个轮操作都是可逆的,因而,解密操作的一轮就是挨次施行逆行移位、逆字节代换、轮密钥加和逆列夹杂。同加密操作雷同,最初一轮不施行逆列夹杂,在第 1 轮解密之前,要施行 1 次密钥加操作。

  1977 年三位数学家 Rivest、Shamir 和 Adleman 设想了一种算法,能够实现非对称加密,也就是本文要会商的 RSA 算法,利用非对称加密算法需要生成公钥和私钥,利用公钥加密,利用私钥解密。

  互质关系:起首回首一下质数的定义。质数 (prime number) 又称素数,有无限个。一个大于 1 的天然数,除了 1 和它本身外,不克不及被其他天然数整除,换句线 和它本身以外不再有其他的因数;不然称为合数,若是两个正整数,除了 1 以外,没有其他公因子,我们就称这两个数是互质关系。互质关系不要求两个数都是质数,合数也能够和一个质数形成互质关系。

  欧拉函数:对正整数 n,欧拉函数是小于 n 的正整数中与 n 互质的数的数目,用 φ(n) 暗示。例如 φ(8) = 4,由于 1 3 5 7 均和 8 互质。欧拉函数能够暗示为

  若 n 是质数 p 的 k 次幂,除了 p 的倍数外,其他数都跟 n 互质,则数学公式为

  欧拉定理:欧拉定理是一个关于同余的性质。欧拉定理表白,若 n,a 为正整数,且 n,a 互质,则有

  假设正整数 a 与质数 p 互质,由于 φ(p) = p-1,则欧拉定理能够写成

  利用公钥 (n,e) 进行加密的过程,能够暗示为如下公式,现实上就是按照明文 m

  计较出密文 c 的过程。m 必需是整数(字符串能够取 ascii 值或 unicode 值),且 m 必需小于 n。

  利用私钥 (n,d) 进行解密的过程,能够暗示为如下公式,现实上就是按照密文 c 计较出明文 m 的过程。此处证明比力复杂,感乐趣的伴侣能够本人看一下。

  利用公钥进行加密,假设明文 m = 65,暗示大写字母 A,按照公式计较出密文为 2790。

  利用私钥进行解密,密文为 2790,按照公式能够计较出明文为 65,暗示大写字母 A。

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